Sisu

• Sammud
• Näpunäited

Matemaatikud ja graafikaprogrammeerijad peavad sageli leidma nurga kahe vektori vahel. Õnneks ei vaja selle nurga arvutamiseks kasutatud valem midagi muud kui lihtne skalaarkorrutis. Ehkki selle valemi põhjendusi on kahemõõtmeliste vektorite kasutamisel lihtsam mõista, saame seda hõlpsalt kohandada vektorite jaoks, millel on ükskõik milline arv komponente.

Sammud

1. osa 2-st: arvutage kahe vektori vaheline nurk

1. 

   Tuvastage kaks vektorit. Pange kirja kogu teadaolev teave kahe vektori kohta. Selle õpetuse jaoks eeldame, et tunnete vektoreid ainult nende mõõtmete koordinaatide (nimetatakse ka komponendid). Kui te juba teate moodul või standard nendest vektoritest (see tähendab nende pikkust), võite mõne alltoodud sammu vahele jätta.
   • Näide: vaatleme kahemõõtmelisi vektoreid = (2,2) ja = (0,3). Neid kahte vektorit saab ümber kirjutada kui 2i + 2j e = 0i + 3j = 3j.
   • Ehkki meie näites kasutatakse kahte kahemõõtmelist vektorit, võime järgmisi juhiseid rakendada vektorite jaoks, millel on ükskõik milline arv komponente.

2. 

   
   
   Kirjutage koosinusvalem. Nurga θ väärtuse leidmiseks kahe vektori vahel peame kõigepealt arvutama selle nurga koosinus. Valemit saate üksikasjalikult otsida ja teada saada või lihtsalt kirjutada, nagu see on allpool:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| tähistab moodul (või vektori pikkus) ".
   • • tähistab skalaarne toode (või sisemine produkt) kahest vektorist.

3. 

   
   
   Arvutage iga vektori moodul. Kujutage ette komponendi moodustatud täisnurkset kolmnurka x vektorist, selle komponendist y ja vektor ise. Selles kolmnurgas mängib vektor hüpotenuusi rolli; seetõttu rakendame selle pikkuse leidmiseks Pythagorase teoreemi. Selle tulemusel on see valem hõlpsasti rakendatav ükskõik millise arvu komponentidega vektorite jaoks.
   • || u || = u₁ + u₂. Kui vektoril on rohkem kui kaks komponenti, jätkake lihtsalt + u lisamist₃ + u₄ +...
   • Seetõttu peame kahemõõtmelise vektori jaoks seda tegema || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Meie näites |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Arvutage kahe vektori skalaarkorrutis. Te peaksite juba teadma vektorite korrutamise meetodit, mida nimetatakse ka skalaarne toode. Kahe vektori skalaarkorrutise arvutamiseks nende komponentide osas korrutame komponendid üksteisega samas suunas ja lisame siis nende produktide tulemused.
   • Kui töötate arvutigraafikaprogrammidega, külastage enne jätkamist jaotist "Nõuanded".
   • Matemaatiliselt • = u₁v₁ + u₂v₂, kus u = (u₁, u₂). Kui teie vektoril on rohkem kui kaks komponenti, jätkake lihtsalt nupu + u lisamist₃v₃ + u₄v₄...
   • Meie näites • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. See on vektorite ja. Vahelise skalaarkorrutise väärtus.

5. 

   Asendage need tulemused koosinusvalemiga. Pidage meeles, et cosθ = (•) / (|||| || ||). Oleme juba arvutanud skalaarkorrutise ja kahe vektori mooduli. Asendame nüüd need väärtused valemis ja arvutame nurga koosinus.
   • Meie näites on cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Leidke nurk oma koosinusarvu põhjal.
   Kasutage kalkulaatori kaare- või cos-funktsiooni, et nurk cos määrata koosinusväärtusest. Mõnel juhul võite nurga väärtuse leida ühiku ringi põhjal.
   • Meie näites on cosθ = √2 / 2. Nurga leidmiseks sisestage kalkulaatorisse "arccos (√2 ​​/ 2)". Teine võimalus on otsida nurga θ mõõtühikust, kus cosθ = √2 / 2: see kehtib ka θ = /₄ või 45 °.
   • Kogu teabe kokku pannes on meil lõppvalem θ = arkoosiin ((•) / (|||| || ||))

Osa 2/2: Nurga arvutamise valemi määratlemine

1. 

   Saage aru valemi eesmärgist. Valem, mida kasutasime kahe vektori vahelise nurga arvutamiseks, ei olnud tuletatud olemasolevatest reeglitest; selle asemel loodi see kahe vektori vahelise skalaarkorrutise ja nendevahelise nurga määratlusena. See otsus ei ole siiski meelevaldne. Põhigeomeetriat lähemalt uurides näeme, miks see valem annab nii kasulikke ja intuitiivseid määratlusi.
   • Järgmistes näidetes kasutatakse kahemõõtmelisi vektoreid, kuna need on kõige intuitiivsemad tüübid, millega töötada. Kolme või enama mõõtmega vektorite omadused on määratletud üldvalemist (ka väga sarnasel viisil).

2. 

   Vaadake üle koosinusseadus. Mõelge mis tahes kolmnurga all nurka by, mille moodustavad küljed ja B ja külg ç selle nurga vastas. Koosinusseaduse kohaselt on c = a + b -2abvööpael(θ). Selle valemi demonstreerimist saab hõlpsasti saada põhigeomeetria tundmisest.

3. 

   Ühendage kaks vektorit kolmnurga moodustamiseks. Joonistage vektorite paar ja nende vahel nurgaga θ. Seejärel joonista nende vahele kolmas vektor, moodustades kolmnurga. Teisisõnu, joonista vektor nii, et + = või lihtsalt = -.

4. 

   Selle kolmnurga suhtes rakendage koosinusseadust. Asendage meie külgede pikkus vektorkolmnurk (see tähendab vektormoodulit) koosinusseaduse valemis:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||vööpael(θ)

5. 

   Kirjutage valem ümber skalaarkorrutiste abil. Pidage meeles, et punktkorrutis on ühe vektori suurendamine teisele. Vektori skalaarkorrutis ise ei vaja projitseerimist, kuna suunas ei muutu. See tähendab, et • = || a ||. Kirjutame selle teabe põhjal ümber koosinusseaduse võrrandi:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||vööpael(θ)

6. 

   Lihtsustage valemit. Laiendage võrrandi vasakul küljel olevaid tooteid ja seejärel lihtsustage seda, kuni jõuate valemi juurde, mida me nurkade arvutamiseks teame.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||vööpael(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||vööpael(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||vööpael(θ)
   • • = || a || || b ||vööpael(θ)

Näpunäited

• Kiireks lahutamiseks rakendage mis tahes kahemõõtmelise vektoripaari jaoks järgmist valemit: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Kui töötate arvutigraafikaprogrammidega, peate kõige tõenäolisemalt teadma ainult vektorite suunda, mitte nende pikkust. Võrrandite lihtsustamiseks ja programmi kiirendamiseks toimige järgmiselt.
  • Normaliseerige iga vektor, st leidke ühikvektor, millel on algvektoriga sama suund. Selleks jagage vektori iga komponent vektormooduli abil.
  • Arvutage normaliseeritud vektorite skalaarkorrutis, mitte algvektorid.
  • Kuna normaliseeritud vektorite moodul (st pikkus) on ühtne, võime need valemist välja jätta. Lõplik võrrand nurkade arvutamiseks on kaar (•).
• Koosinusseaduse valemi põhjal saame kiiresti teada, kas vaadeldav nurk on terav või nüri. Alustage cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Võrrandi vasakul ja paremal küljel peab olema sama märk (positiivne või negatiivne).
  • Kuna pikkused on alati positiivsed, on cosθ alati sama märk kui skalaarkorrutis.
  • Seega, kui skalaarkorrutis on positiivne, on cosθ positiivne. See tähendab, et nurk on ühiku ringi esimeses kvadrandis, st, <π / 2 või 90 °. Seetõttu on nurk terav.
  • Kui skalaarkorrutis on negatiivne, siis cosθ on negatiivne. See tähendab, et nurk on ühiku ringi teises kvadrandis, st π / 2 <θ ≤ π või 90 ° <° ≤ 180 °. Seetõttu on nurk üürike.