Sisu

• Sammud
• Näpunäited

Neile, kellel on raskusi matemaatikaga, võib ruutjuure sümboli nägemine põhjustada külmavärinaid. Selle operaatoriga seotud probleemid pole siiski nii rasked, kui need paistavad. Mõnikord võivad lihtsad ruutjuure probleemid olla sama lihtsad kui lihtne korrutamine või jagamine. Teisest küljest võivad keerukamad probleemid olla rohkem tööd. Õige lähenemise korral näevad need kõik siiski kerged välja. Alustage nüüd ruutjuure probleemide harjutamist ja õppige seda uut matemaatikaoskust radikaalne!

Sammud

1. osa 3-st: mõistke ruudu ja ruudu juurte mõistet

1. 

   Enne ruutjuurte mõistmist mõelge kõigepealt numbri ruut. Seda on lihtne mõista. Arvu ümardamiseks korrutage see lihtsalt iseenesest. Näiteks 3 ruut on sama kui 3 × 3 = 9 ja 9 ruut on sama kui 9 × 9 = 81. Ruudud on tähistatava numbri paremas ülanurgas väikese numbriga "2", nagu see: 3, 9, 100 ja nii edasi.
   • Selle kontseptsiooni harjutamiseks proovige veel mõned numbrid ruudusse lisada. Pidage meeles, et arvu korrutamine korrutab selle iseenesest. Saate seda teha isegi negatiivsete arvudega, kuid pidage meeles, et sel juhul on vastus alati positiivne. Näiteks -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Ruutjuure leidmiseks leidke potentseerimise "pöördvõrdeline". Juursümbol (√, mida nimetatakse ka "radikaalseks") tähendab põhimõtteliselt sümboli "vastandit". Kui näete radikaali, küsige endalt: „Mis arvu ma saan ise korrutada, et tulemuseks oleks radikaali sees olev arv?” Näiteks kui näete √ (9), proovige leida number, mis on ruudus, võrdub üheksaga. Sel juhul vastus on kolmsest 3 = 9.
   • Veel üks näide: leiame ruutjuure 25 (√ (25)). See tähendab, et peame leidma arvu, mis ruudus on võrdne 25. Kuna 5 = 5 × 5 = 25, võime öelda, et √ (25) = 5.
   • Võite selle toimingu mõelda ka ruudu kõrguse "tühistamise" viisiks. Näiteks kui peame leidma ruutjuure √ (64) 64, peaksime mõtlema numbrile 64 kui 8. Kuna ruutjuur põhimõtteliselt "tühistab" ruudukujulise kõrguse, võime öelda, et √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Saage aru täiuslike ruutarvude ja ebatäiuslike ruutarvude erinevusest. Siiani on meie ruutjuure probleemide vastused olnud täisarvud. Seda ei juhtu alati. Tegelikult võib kiirgustoimingu tulemus mõnikord põhjustada pikki keerukaid kümnendkohti. Kui numbri juur on täisarv, st kui see ei ole murdosa või kümnendkoha täpsusega, nimetatakse seda täiuslik ruut. Kõik ülaltoodud näited (9, 25 ja 64) on täiuslikud ruudud, kuna nende juured on täisarvud (vastavalt 3, 5 ja 8).
   • Teisest küljest nimetatakse numbreid, mille juured pole terved ebatäiuslikud ruudud. Kui arvutate ühe neist arvudest, saame tulemuse, mis on tavaliselt murdosa või kümnendkoha täpsus. Mõnikord võivad osalevad kümnendkoha täpsused olla üsna keerulised, nagu näites: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Jäta meelde vähemalt 12 esimest täiuslikku ruutu. Nagu näitasime, võib arvu ruutjuure arvutamine olla väga lihtne! Seega on oluline varuda aega esimese tosina täiusliku ruudu ruutjuurte meeldejätmiseks. Neid kipub testides palju esinema, nii et nende meeldejätmine võib säästa palju aega. Esimesed 12 täiuslikku ruutu on:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Võimalusel lihtsustage juuri, eemaldades täiuslikud ruudud. Ebatäiuslike ruutude ruutjuure leidmine võib olla üsna keeruline, eriti kui kalkulaatorit pole saadaval (allpool olevates lõikudes saate teada trikke protsessi lihtsustamiseks). Kuid mõnikord on arvutamise hõlbustamiseks võimalik juuri lihtsustada. Jagage lihtsalt arv juure sees teguriteks, seejärel arvutage nende tegurite juur, mis on täiuslikud ruudud, ja kirjutage vastus väljaspool radikaali. See on lihtsam kui tundub. Vaadake allpool, et paremini aru saada!
   • Oletame, et peate leidma juur 900. Esialgu tundub see olevat üsna keeruline ülesanne! Kõik on palju lihtsam, kui jagame 900 teguriteks. Arvu “x” tegurid on numbrite kogum, mis korrutatuna annab tulemuseks “x”. Näiteks saame 6, korrutades 1 × 6 ja 2 × 3, nii et koefitsiendid 6 on 1, 2, 3 ja 6.
   • Selle asemel, et töötada 900-ga, mis võib olla pisut kummaline, kirjutame selle asemel 9 × 100. Kuna 9, mis on täiuslik ruut, eraldatakse 100-st, saame selle ruutjuure arvutada. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). See tähendab, et √ (900) = 3√(100).
   • Saame ikkagi lihtsustada veel kaks korda, jagades 100 teguriteks 25 ja 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Niisiis, võime öelda, et √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Negatiivsete numbrite juure arvutamiseks kasutage kujuteldavaid numbreid. Küsige endalt, milline arv korrutatuna ise annab tulemuseks -16? See ei ole 4 ega -4, sest nende kahe numbri ruut on 16. Kas peaksime loobuma? Tegelikult pole kuidagi võimalik kirjutada ruutjuur -16 või mõnda muud negatiivset arvu, kasutades ainult reaalarvu. Sellistel juhtudel peame negatiivse numbri ruutjuure asendama kujuteldavate numbritega (tavaliselt tähtede või sümbolite kujul). Muutujat "i" kasutatakse näiteks ruutjuure -1 tähistamiseks. Üldreeglina on negatiivse arvu juur alati kujutletav arv (või vähemalt sisaldab seda).
   • Pidage meeles, et kuigi kujuteldavaid numbreid ei saa esindada reaalarvudega, saab neid mõnes mõttes ikkagi sellisena käsitleda. Näiteks negatiivse arvu juur „-x“, kui see on ruudus, annab ka „-x“, nagu iga teinegi juur. See tähendab, et i = -1

Osa 2/3: pikkade jagunemismeetodite kasutamine

1. 

   Käsitage ruutjuure probleemi nii, nagu see oleks pikk jagunemine. Hoolimata sellest, et see on pisut vaevarikas, võite keerukate ebatäiuslike ruutarvude ruutjuure leida kalkulaatorit kasutamata. Meetod (või algoritm) on sarnane (kuid mitte sama) pika jagunemise meetodiga. Pikk jaotus on traditsiooniline meetod, mida kasutatakse jaotuste käsitsi arvutamiseks.
   • Alustage probleemi esialgse positsioneerimisega, mis sarnaneb pika jagunemisega. Näiteks oletame, et peate leidma juure 6.45, mis pole kindlasti täiuslik ruut. Esiteks kirjutame ruutjuure sümboli (√) ja siis paneme oma numbri selle sisse. Seejärel peame sümbolist √ tegema joone, kuni see katab kogu numbri, jättes selle kasti sisse, mis on sarnane sellele, kus asub pikk jagunemisjaotus. Erinevus on see, et siin saab vastus selle kasti kohal, mitte allpool, nagu traditsioonilises jaotuses. Kui oleme lõpetanud, on meil piklik märk √, mis katab kogu arvu 6.45.
   • Kirjutame sellele lahtrile numbrid, nii et jätke ruumi.

2. 

   Rühmitage numbrid paaridesse. Probleemi lahendamise alustamiseks grupeeri varre sees olevad numbrid paarikaupa, alustades komakohaga. Paaride vahel saate nende eraldamiseks teha väikseid märgiseid (nt punktid, ribad, koma jne).
   • Meie näites peaksime jagama 6.45 kolmeks paariks, näiteks järgmiselt: 6-,45-00. Vaadake, et vasakul küljel on üks number vähem, sellega pole probleemi.

3. 

   Leidke suurim arv, mille ruut on esimese "rühma" väärtusest väiksem või sellega võrdne. Alustage vasakul küljel asuva esimese numbripaariga. Valige suurim arv, mille ruut on "rühmast" väiksem või sellega võrdne. Näiteks kui rühm oli 37, valige 6, sest 6 = 36 <37, kuid 7 = 49> 37. Kirjutage see number esimese rühma kohale. See on vastuse esimene number.
   • Meie näites on grupp 6-, 45-00 esimene rühm 6. Esimene suurim arv, mille ruut on 6-st väiksem või sellega võrdne, on 2, sest 2 = 4. Kirjutage "2" üle 6, mis asub radikaali sees.

4. 

   Vaadake vastuse esimest numbrit (number, mille just leidsime) ja korrutage see kahega. Nüüd kirjutage tulemus esimese grupi alla ja erinevuse leidmiseks tehke lahutamine. Seejärel kerige järgmine numbripaar allapoole, lisades need just leitud erinevusele. Lõpuks kirjutage vasakul küljel vastuse esimene number kahekohaliseks ja kahekohaseks ning jätke selle kõrvale tühik.
   • Meie näites oleks esimene samm leida topelt 2, mis on vastuse esimene number. 2 × 2 = 4. Seejärel peame lahutama 4 6-st (meie esimene "rühm"), saades vastuseks 2. Nüüd peame 245. saamiseks minema järgmise rühma juurde (45). Lõpuks kirjutame vasakul jälle 4, jättes paremale küljele väikese tühja ruumi, näiteks 4_.

5. 

   Täida lünk. Nüüd peame vasakul kirjutatava numbri kõrval oleva tühja koha asetama numbri. Valige number, mis korrutatakse vasakul oleva numbriga ja tühi koht asendatakse iseendaga, kuid sellel on maksimaalne väärtus, kuid väiksem kui paremal küljel olev number. See võib tunduda pisut keeruline, nii et vaatame mõned näited, millest aru saada. Kui allapoole läinud arv, see tähendab paremal pool asuv arv, on 1700 ja paremal olev number on 40_, täidaksime tühiku numbriga 4, sest 404 × 4 = 1616 <1700 ja 405 × 5 = 2025 Selles etapis leitud number on vastuse teine ​​number, nii et saate selle lisada tüve sümboli kohale.
   • Meie näites peame leidma tühja ruumi täitmiseks numbri 4_ × _, mis teeb vastuse võimalikult suureks, kuid väiksem või võrdne 245-ga. Meie puhul on vastus 5sest 45 × 5 = 225 ja 46 × 6 = 276.

6. 

   Jätkake vastuse koostamiseks tühikute täitvate numbrite kasutamist. Jätkake seda modifitseeritud pika jagamise meetodit, kuni hakkate saama nulle, lahutades radikaalist laskunud arvu, või kuni olete saavutanud soovitud täpsusastme. Kui olete lõpetanud, moodustavad numbrid, mida kasutatakse igas etapis tühikute täitmiseks (ja muidugi esimene number, mida kasutame), vastuse numbrid.
   • Jätkates oma näidet, lahutaksime 225-st 245-st 205-ga. Siis läheksime numbripaari 00 võrra alla, et saada 2000. Kahekordistades radikaali kohal olevaid numbreid, on meil 25 × 2 = 50. Seadistades tühja numbri väärtuseks 50_ × _ = / <2000, saame 3. Praegu on meil radikaali kohta "253". Protsessi uuesti korrates saame järgmise numbrina 9.

7. 

   Asetage koma vastuses õigesse kohta. Vastuse lõpetamiseks peame ikkagi koma õigesse kohta panema. See osa on lihtne: pange vastus lihtsalt komaga samasse kohta, kui koma, kui radikaali sees olev number. Näiteks kui radikaali sees olev arv on 49,8, siis pange koma vastusesse lihtsalt allolevasse kohta, st kahe numbri vahele 9 ja 8 vahele.
   • Meie näites on radikaalis olev arv 6.45. Vastuse saamiseks pange vastus vastuse saamiseks lihtsalt koma numbrite vahele, mis on üle 6 ja 4, mis antud juhul on vastavalt 2 ja 5: 2,539.

Osa 3/3: ebatäiuslike ruutude kiire hindamine

1. 

   Otsige vastus hinnangu kaudu. Kui olete teada mõne täiusliku ruudu juure, on ebatäiuslike ruutude juure leidmine palju lihtsam. Eelmises etapis soovitame meelde jätta vähemalt kaksteist esimest täiuslikku ruutu ja nende juuri. Hea uudis on see, et saame selle hinnangu abil saada ligikaudse ebatäiusliku ruudu juure, mis asub kahe meile teada oleva täiusliku ruudu vahel. Selleks peame leidma esimese täiusliku ruudu, mis on suurem kui soovitud arv ja viimane väiksem, nii et vaadeldav arv oleks nende kahe vahel. Seejärel peame proovima välja selgitada, kummast kahest täiuslikust ruudust soovitud arvu juur kõige lähemal asub.
   • Näiteks oletame, et peame leidma ruutjuure 40. Kuna jätame meelde oma täiuslikud ruudud, võime öelda, et 40 on vahemikus 6 kuni 7, see tähendab vahemikus 36 kuni 49. Kuna 40 on suurem kui 6, on teie ruutjuur suurem kui 6. Samuti, kuna see on vähem kui 7, on selle juur väiksem kui 7. 40 on pisut lähemal 36-le kui 49, nii et meie vastus on tõenäoliselt lähemal 6. Järgmistes etappides , suurendame oma hinnangu täpsust.

2. 

   Suurendage täpsust ühe kümnendkoha täpsusega. Kui olete leidnud kaks järjestikust täiuslikku ruutu, mis moodustavad vahemiku, mis sisaldab teie arvu, proovige lihtsalt suurendada hinnangu täpsust punktini, mis teie arvates on rahuldav. Mida rohkem katseid hinnangu parandamiseks tehakse, seda suurem on täpsus. Alustuseks hinnake esimese kümnendkoha täpsusega. See hinnang ei pea olema õige, kuid loogika kasutamine vastusele tõenäoliselt kõige lähedasema väärtuse valimiseks hõlbustab protsessi.
   • Meie näites võiks aktsepteeritav hinnang ruutjuurile 40 olla 6,4, sest me juba teame, et vastus on tõenäoliselt natuke lähemal 6-le kui 7-le.

3. 

   Korrutage hinnang iseenesest. Kui teil väga veab, pole tulemuseks stardinumber (meie näites 40). Õigele vastusele lähemale saamiseks peate kalkulatsiooni kohandama.Kui tulemus on suurem kui algarv (see tähendab üle 40), proovige madalamat hinnangut. Kui tulemust jääb soovitud arv alla, suurendage samamoodi.
   • Korruta 6,4 iseenesest, et saada 6,4 × 6,4 = 40,96, mis on pisut suurem kui meie algne arv.
   • Kuna meie hinnang oli veidi üle õige väärtuse, vähendame seda kümnendiku võrra, et saada 6,3 × 6,3 = 39,69. Nüüd oli tulemus pisut väiksem kui meie algne number. See tähendab, et 40 juur on mingi arv vahemikus 6,3 kuni 6,4. Kuna 39,69 on lähemal 40-le kui 40,96, teame, et juur on lähemal 6,3, mitte 6,4.

4. 

   Vajadusel jätkake kalkulatsiooni parandamist. Kui olete vastusega rahul, kasutage hinnanguliselt ühte esimestest lähenditest. Kui vajate täpsemat vastust, proovige lihtsalt seda hinnata teine ​​koma pärast koma, valides kahe eelmise väärtuse (st vahemikus 6,3 kuni 6,4). Seda meetodit kasutades saame hinnata kolme kümnendkoha täpsusega, neli, viis ja nii edasi, sõltuvalt ainult vastuse jaoks vajalikust täpsusest.
   • Meie näites saame valida 6.33, et muuta meie hinnang kahe kümnendkoha täpsusega. Korruta 6,33 iseenesest, et saada 6,33 × 6,33 = 40,0689. Kuna see tulemus oli pisut üle meie algse arvu, võime valida pisut madalama väärtuse, näiteks 6.32. Sel juhul 6,32 × 6,32 = 39,9424, tulemus pisut alginumbrist väiksem. Seetõttu võime järeldada, et 40 täpne juur on vahemikus 6.32 kuni 6.33. Vajadusel võiksime seda meetodit jätkata, et saada soovitud numbri juurele järjest täpsemaid lähendusi.

Näpunäited

• Kui vajate kiiret parandamist, kasutage kalkulaatorit. Enamik tänapäevaseid kalkulaatoreid suudab ruutjuured kohe arvutada. Üldiselt tippige lihtsalt suvaline arv ja vajutage ruutjuure sümboliga nuppu. Näiteks 841 juure leidmiseks vajutage lihtsalt vastuseid 8, 4, 1 ja seejärel nuppu (√): 39.