Sisu

• Sammud
• Probleemide vastused ja näited
• Näpunäited
• Hoiatused

Trinomiaal on algebraline avaldis, mis koosneb kolmest terminist. Tõenäoliselt õpite arvestama ruutkeskmist trinominaali, mis on trinaalid, mis on kirjutatud kujul ax + bx + c. On mitmeid trikke, mida saab rakendada erinevat tüüpi ruutkeskmistes trinomiaalides, kuid saate harjutamisega paremaks ja kiiremaks. Kõrgema astme polünoome koos terminitega nagu või x ei saa alati lahendada samade meetoditega, kuid võite sageli pöörduda lihtsa faktooringu või terminite asendamise poole, et muuta need probleemideks, mida saab lahendada mis tahes ruutkeskmise valemiga .

Sammud

1. meetod 3-st: faktoorimine x + bx + c

1. 

   Õppige turustusomadusi (inglise keeles tuntud ka kui FOIL), avaldiste korrutamiseks nagu (x + 2) (x + 4). Enne faktooringu alustamist on hea teada, kuidas see töötab:
   • Korrutage esimene termineid: (x+2)(x+4) = x + __
   • Korrutage tingimusi välja: (x+2) (x +4) = x +4x + __
   • Korrutage tingimusi sees: (x +2)(x+4) = x + 4x +2x + __
   • Korrutage viimane terminid: (x +2) (x +4) = x + 4x + 2x +8
   • Lihtsustage: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8

2. 

   
   
   Mõista faktooringut. Kui korrutate leviku abil kaks binomiaali üksteisega, saate tulemuseks trinomaali (avaldise kolme terminiga) kujul x +Bx +ç, milles a, b ja c on ühised arvud. Kui alustate võrrandist samal viisil, saate selle välja arvutada, muutes selle kaheks binomiksiks.
   • Kui võrrandit pole selles järjekorras kirjutatud, nihutage terminid sobivasse kohta. Näiteks kirjutage uuesti 3x - 10 + x nagu x + 3x - 10.
   • Kuna suurim eksponent on 2 (x), nimetatakse seda avaldist "ruutkeskmiseks".

3. 

   
   
   Jätke ruumi esitatud meetodi vastusele. Praegu lihtsalt kirjutage (__ __) (__ __) vastusele pühendatud ruumis. Varsti täidame need väljad.
   • Ärge pange veel tühikute terminite vahele + või - märki, kuna me ei tea, millist neist kasutatakse.

4. 

   Täitke esimesed tingimused. Lihtsate probleemide korral, kus teie trinomi esimene tähtaeg on ainult x, on esimese positsiooni tingimused alati sellised x ja x. Need on x tegurid, kuna x korda x = x.
   • Meie näide x + 3x - 10 algab tähega x, nii et võime kirjutada:
   • (x __) (x __)
   • Vaatleme üksikasjalikumaid probleeme järgmises jaotises, sealhulgas trinomaalid, mis algavad sellise terminiga nagu 6xvõi -x. Nüüd järgige näiteprobleemi.

5. 

   
   
   Viimaste terminite arvamiseks kasutage faktooringut. Kui naasete tagasi ja loete uuesti algselt kasutatud meetodit, näete, et viimaste tingimuste korrutamine annab polünoomis lõpliku termini (ilma x -ta). Seetõttu peame teguriks leidma kaks numbrit, mis korrutavad, moodustades viimase termini.
   • Meie näites x + 3x - 10, viimane termin on -10.
   • Millised on -10 tegurid? Millised kaks arvu kokku korrutatakse, annavad tulemuseks -10?
   • Seal on mõned võimalused: -1 korda 10, 1 korda -10, -2 korda 5 või 2 korda -5. Kirjutage need paarid kuskile alla, et te ei unustaks.
   • Ärge muutke vastust veel. See näeb endiselt välja selline: (x __) (x __).

6. 

   Katsetage, millised võimalused toimivad nii väljast kui seest korrutamisel. Oleme taandanud viimased mõisted vähesteks võimalusteks. Katsetage igaüks, korrutades väliseid ja sisemisi termineid, seejärel võrrelge tulemust meie trinomiaaliga. Näiteks:
   • X-mõiste meie algses probleemis on 3x, nii et see on see, mida me tahame proovile panna.
   • Test 1 ja 10: (x-1) (x + 10). Väljast + sisemine väärtus = 10x - x = 9x. Ära.
   • Test 1 ja -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. See pole õige. Tegelikult teate pärast -1 ja 10 testimist, et vastused 1 ja -10 on ülaltoodud tulemusele vastupidised: 9x asemel -9x.
   • Test 2 ja 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. See langeb kokku algse polünoomiga, seega on see õige vastus: (x-2) (x + 5).
   • Sellistel lihtsatel juhtudel, kui x-i ees pole konstanti, võite kasutada otsetee: lihtsalt lisage kaks tegurit ja pange pärast täht "x" (-2 + 5 → 3x). Keerukamate probleemide korral see ei toimi, seega on hea meeles pidada kogu eelpool kirjeldatud tee.

Meetod 2/3: keerukamate trinoomide faktoorimine

1. 

   Keerukamate probleemide hõlbustamiseks kasutage lihtsat faktooringut. Ütle, et peate arvestama 3x + 9x - 30. Otsige arv, mis kajastab kõiki kolme terminit (nende "suurim ühine jagaja" ehk LCD). Sel juhul on see 3:
   • 3x = (3) (x)
   • 9x = (3) (3x)
   • -30 = (3)(-10)
   • Seetõttu 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x-10). Saame uue trinomiumi välja arvata, kasutades selle artikli alguses toodud samme. Vastus saab olema (3) (x-2) (x + 5).

2. 

   Otsige keerukamaid tegureid. Mõnikord võib tegur hõlmata muutujaid või peate võib-olla mitu korda tegurit muutma, kuni leiate võimalikult lihtsa väljendi. siin on mõned näidised:
   • 2xy + 14xy + 24y = (2 a)(x + 7x + 12)
   • x + 11x - 26x = (x)(x + 11x - 26)
   • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
   • Ärge unustage uue trinomiumi uuesti välja mõelda, kasutades alguses toodud samme. Kontrollige oma vastust ja leidke sarnaseid näidisprobleeme selle artikli lõpus.

3. 

   Lahendage probleemid numbriga x ees. Mõnda ruutkeskmist trinomaali ei saa lihtsustada enne, kui olete jõudnud kõige lihtsama tüüpi probleemini. Õppige, kuidas lahendada selliseid probleeme nagu 3x + 10x + 8, ja siis harjutage üksi näiteprobleemidega selle artikli lõpus:
   • Pange vastus kokku: (__ __)(__ __)
   • Esimestel terminitel on igaüks "x" ja nende korrutamisel saadakse 3x. Siin on ainult üks võimalik variant: (3x __) (x __).
   • Loetlege tegurid 8. Meie võimalused on 1 korda 8 või 2 korda 4.
   • Testige neid, kasutades väliseid ja sisemisi termineid. Mõista, et tegurite järjekord on oluline, kuna välist terminit korrutatakse arvuga 3x, mitte numbriga x. Proovige kõiki võimalusi, kuni saate tulemuse väljastpoolt + 10x piires (vastavalt algsele probleemile):
   • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x Ei.
   • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x Ei.
   • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x Ei.
   • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x Jah, see on õige tegur.

4. 

   Kasutage kõrgema klassi trinomiaalide asendamist. Teie matemaatikaraamat võib üllatada suure eksponendivõrrandiga x isegi pärast seda, kui olete probleemi leevendamiseks kasutanud lihtsat faktoriseerimist. Proovige see asendada uue muutujaga, mis muudab võrrandi millekski, mida saate lahendada. Näiteks:
   • x + 13x + 36x
   • = (x) (x + 13x + 36)
   • Leiutame uue muutuja. Me ütleme, et y = x ja teeme asendused:
   • (x) (y + 13 a + 36)
   • = (x) (y + 9) (y + 4). Nüüd kasutage uuesti algset muutujat:
   • = (x) (x + 9) (x + 4)
   • =(x) (x ± 3) (x ± 2)

3. meetod 3-st: faktooringu erijuhtumid

1. 

   Otsige algarvu. Kontrollige, kas trinomi esimese või kolmanda termini konstant on algarv. Algarvu saab jagada võrdselt ainult enda ja 1 abil, seega on binoomsete tegurite paar ainult üks võimalik.
   • Näiteks x + 6x + 5 korral on "5" algarv, nii et binoom peaks välja nägema järgmine: (__ 5) (__ 1).
   • 3x + 10x + 8 ülesandes 3 on algarv, nii et binoom peaks välja nägema järgmine: (3x __) (x __).
   • 3x + 4x + 1 ülesande jaoks on nii "3" kui ka "1" algarvud, seega on ainus võimalik lahendus (3x + 1) (x + 1). (Arvutuse kontrollimiseks peate selle korrutamise ikkagi tegema, kuna mõnda avaldist ei saa arvestada - näiteks 3x2 + 100x + 1 pole ühtegi tegurit).

2. 

   Veenduge, et trinomiaal oleks täiuslik ruut. Täiusliku ruudukujulise trinomi saab jagada kaheks identseks binaaliks ja tegur kirjutatakse tavaliselt (x + 1) (x + 1) asemel (x + 1). Siin on mõned levinumad, mis kipuvad hätta jääma:
   • x + 2x + 1 = (x + 1) ja x-2x + 1 = (x-1)
   • x + 4x + 4 = (x + 2) ja x-4x + 4 = (x-2)
   • x + 6x + 9 = (x + 3) ja x-6x + 9 = (x-3)
   • Täiuslik ruudukujuline trinoom kujul x + Bx + ç, on mõisted "a" ja "c" alati positiivsete täiuslike ruutudena (näiteks 1, 4, 9, 16 või 25) ja termin b (positiivne või negatiivne) on alati võrdne 2 (√a * √c) .

3. 

   Kontrollige, kas lahendust pole. Kõiki trinomaale ei saa arvesse võtta. Kui olete ummikus ruutkeskmises trinomiaalis (ax + bx + c), kasutage tulemuse leidmiseks ruutkeskmist valemit. Kui ainsad vastused on negatiivse arvu ruutjuur, siis pole reaalset lahendust, seega pole ka tegureid.
   • Mittekvadraadiliste trinoomide jaoks kasutage Eisensteini kriteeriumi, mida on kirjeldatud näpunäidete jaotises.

Probleemide vastused ja näited

1. Vastused kõige keerukamatele faktooringu probleemidele. Need on trinomiaalide „keerukama” osa probleemid. Oleme neid lihtsustanud, muutes need lihtsamaks probleemiks. Proovige need lahendada alguses toodud sammude abil, nii et kontrollige arvutusi siin:
   • (2y) (x + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
   • (x) (x + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
   • (-1) (x - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)
2. Proovige lahendada keerulisemaid faktooringu probleeme. Nendel probleemidel on igas terminis ühine tegur, mida tuleb kõigepealt arvesse võtta. Rõhutage võrdusmärkide järel tühikut, et näha vastust ja vaadata oma arvutusi siin:
   • 3x + 3x-6x = (3x) (x + 2) (x-1) ← tõstke vastuse nägemiseks see koht esile
   • -5ksü + 30oksü-25yx = (-5ksü ^ 2) (x-5) (x-1)
3. Harjuta raskete probleemidega. Neid probleeme ei saa hõlpsamateks võrranditeks arvestada, nii et peate vastuste välja töötama kujul (_x + __) (_ x + __) testide abil:
   • 2x + 3x-5 = (2x + 5) (x-1) ← tõstke vastuse nägemiseks esile
   • 9x + 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1) (Näpunäide. 9x korral peate võib-olla proovima rohkem kui paari tegurit).

Näpunäited

• Kui te ei tea, kuidas korrutada ruutkeskmist trinomaali (ax + bx + c), võite x väärtuse leidmiseks kasutada ruutkeskmist valemit.
• Ehkki te ei pea seda teadma, saate Eisensteini kriteeriumi abil kiiresti kindlaks teha, kas polünoom on redutseerimatu ja mida ei saa arvestada. See kriteerium kehtib iga polünoomi kohta, kuid see töötab eriti hästi trinoomidega. Kui on algarv "p", mis jagab kaks viimast terminit võrdselt ja vastab järgmistele tingimustele, siis on polünoom redutseerimatu:
  • Konstantne termin (muutujata) on p kordne, kuid mitte p.
  • Peamine termin (näiteks "a" kirves + bx + c) ei ole p kordne.
  • Näiteks 14x + 45x + 51 ei ole redutseeritavad, kuna on olemas algarv (3), mis jagab 45 ja 51 võrdselt, kuid mitte 14 ja 51 ei saa jagada võrdselt 3-ga.

Hoiatused

• Ehkki see kehtib ruutkeskmise võrrandi kohta, ei ole saadavad trinaalid tingimata kahe binoomi korrutis. Näiteks: x + 105x + 46 = (x + 5x + 2) (x - 5x + 23).